根号2是有理数吗（证明根号2是无理数）

证明根号2

是无理数

　　根号2的发现是数学史上的一件大事。公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们有一个信条：万物皆数，即一切事物都可以用整数或者整数之比来表示，比如要描述一个矩形门窗，可以说它的长宽之比为5:3或者7:4，要描述一个三角形屋顶的房子，可以说它的墙壁长宽高之比为12:7:3，屋顶三角形三边之比为5:5:6。

　　然而有一天，毕达哥拉斯的一个学生希帕索斯发现，边长为一的正方形的对角线，不能表达成整数之比的形式，这是一种人们意料之外的、全新的数，它引起了数学界的巨大恐慌。

　　根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的两条直角边的平方之和等于斜边的平方，即a2＋b2=c2。边长为1的正方形，它的对角线的平方为2（12＋12=2），那么斜边的长就是2的平方根，即根号2。

　　怎样发现根号2是无理数了呢？

　　那个时代的希腊人认为，任何数都可以表示成两个互质的整数之比，比如3可以表示为3/1，0.33333…可以表示为1/3，3.1415926可表示为1570863/50000000（由31415926/100000000约分得到），如果根号2是有理数，那么它也应遵循这一原则，比如可以表示成p/q的形式，这里p和q都是整数且互质，即没有公约数。

　　可偏偏这样行不通，证明过程如下：

　　设根号2=p/q，等式两边同时平方：

　　p2/q2=2，

　　p2=2q2，

　　则p2为偶数。

　　因为偶数的平方才会是偶数，奇数的平方永远是奇数，所以P为偶数（结论1）。

　　假设p=2m（m为整数），那么p2=4m2，

　　因为p2＝2q2，

　　即4m2＝2q2，

　　所以q2=2m2。

　　由此可推出q是偶数（结论2）。

　　综合结论1（ p是偶数）和结论2（q是偶数），则p和q有共同的因数2，p和q不是互质数，p/q不是最简分数，这和p、q互质的前提相矛盾。

　　由此可以证明根号2＝p/q不成立，即根号2不能表达成p/q的形式，换言之，它不是有理数。

　这个发现使希腊数学家惊慌失措，大惑不解，把根号2这种数命名为无理数，即“不合规矩、不应该存在的数”，以表达他们的厌恶。

　　后来人们才发现这种无理数不仅数量上无穷无尽，比如根号3、根号5、Л等，而且具有传染性，任何有理数，只要通过加、减、乘、除沾上它，都会变成无理数，反倒是有理数，在数轴上成为被淹没在无理数海洋之中的孤立的小岛。

　　数就是数，是客观存在的，不管你喜欢与否。有理无理都是人为的标签。

　　根号2的发现，拓宽了人们对数学的认识，为数学开辟了新的天地。